Question

△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰AC的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S₁和S₂.
(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;
(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,求的最小值.

Answer 1

(1) 百米     (2)

解:(1)∵E为AC中点时,
则AE=EC=,
∵+3<+4,
∴F不在BC上.
故F在AB上,
可得AF=,
在三角形ABC中,cosA=.
在三角形AEF中,EF²=AE²+AF²-2AE·AFcosA=,
∴EF=.
即小路一端E为AC中点时小路的长度为百米.
(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,如图所示,

设CE=x,CF=y,
则x+y=5,
==-1
=-1=-1≥-1
=,
当x=y=时取等号.
答:最小值为.