Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)，直线l过点A（a，0）和B（0，b），且原点到直线l的距离为

3

4

c（c为半焦距），则双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为

3

4

c及c²=a²+b²，建立关系式化简得关于离心率e的方程，求出离心率的平方e²，进而求出离心率．

解答：解：根据题意，得直线l的方程为bx-ay-ab=0，
∵c²=a²+b²
∴原点到直线l的距离为

-ab

c

=

3

4

c，
平方去分母得16a²b²=3c⁴，
∴16a²（c²-a²）=3c⁴，即16a²c²-16a⁴=3c⁴，
两边都除以a⁴，化简得3e⁴-16e²+16=0，
解之得 e=

2 3

3

或e=2．
∵0＜b＜a，∴e=2（e=

2 3

3

舍去）．
故答案为：2

点评：本题给出双曲线经过虚、实轴端点的直线到原点的距离，求双曲线的离心率，着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．