Question

14．设数列{a_n}为等差数列，且a₁₁=$\frac{3π}{8}$，若f（x）=sin2x+2cos²x，记b_n=f（a_n），则数列{b_n}的前21项和为21．

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的对称中心，然后化简求解数列的和．

解答 解：由题意f（x）=sin2x+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
易知f（x）关于（$\frac{3π}{8}$，1）中心对称，数列{a_n}为等差数列，
故f（a₁）+f（a₂₁）=2f（a₁₁），且f（a₁₁）=f（$\frac{3π}{8}$）=1，
故数列{b_n}的前21项和S₂₁=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₁）=21．
故答案为：21．

点评 本题考查数列与三角函数相结合，考查转化思想以及计算能力．