Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，底面ABCD为正方形，O为AB中点，PO⊥AC．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）要证明平面PAB⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理，关键是要在一个平面里找到一条直线与另外一个平面垂直，观察发现△PAB底边AB上的中线满足要求，添加辅助线后，证明线面垂直即可得到结论．
（2）由（1）的结论，我们易得∠PCO即为所求，构造三角形，解三角形即可得到答案．
（3）由（1）的结论，过P向AC做垂线，垂足为E，则∠PEO即为二面角P-AC-B的平面角，解三角形PEO，即可求出二面角P-AC-B的大小．

解答：解：（Ⅰ）解：∵△PAB为等边三角形，O为AB中点，
∴PO⊥AB．
又PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABCD．
又PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：∵PO⊥平面ABCD．
∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角．
设底面正方形边长为2，
则PO=

3

，CO=

5

，
∴tanPCO=

PO

CO

=

15

5

．
∴直线PC与平面ABCD所成的角大小为arctan

15

5

．

（Ⅲ）解：过O做OE⊥AC，垂足为E，连接PE．
∵PO⊥平面ABCD，
∴PE⊥AC．
∴∠PEO为二面角B-AC-P的平面角．
设底面正方形边长为2，可求得OE=

2

2

．
又PO=

3

，
∴tanPEO=

PO

OE

=

6

．
∴二面角B-AC-P的大小为arctan

6

．

点评：（1）对于已知条件中出现了（或容易证明）有关的面面平行的问题，往往就要紧紧围绕着面面平行的性质，从而得到线线（或线面）平行，从而将问题解决．
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠PEO为二面角P-AC-B的平面角，通过解∠PEO所在的三角形求得∠PEO．其解题过程为：作∠PEO→证∠PEO是二面角的平面角→计算∠PEO，简记为“作、证、算”．