Question

如下图，在三棱锥中，底面，点为以为直径的圆上任意一动点，且，点是的中点，且交于点.
（1）求证：面；
（2）当时，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）由已知条件平面得到，再由已知条件得到，从而得到平面，进而得到，利用等腰三角形三线合一得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，于是得到，结合题中已知条件以及直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角 的余弦值.
（1）证明：底面，，又易知，
平面，，
又，是的中点，，
平面，，
又已知，
平面；
（2）如下图以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由于，

可设，则，，，，，
，，
设平面的一个法向量，
则，即，
可得，
由（1）可知为面的法向量，
易求
，
二面角的余弦值是.