题目内容
已知△ABC中，
tanA•tanB-(tanA+tanB)=
，且外接圆半径R=1．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．
| 3 |
| 3 |
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．
分析：（1）由已知条件利用两角和差的正切公式求得△ABCtan（A+B）=
=-
，再由诱导公式、三角形内角和公式求得tanC=
，从而求得C 的值．
（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得c的值．再由三角形任意两边之和大于第三边，以及a+b=
2sinA+2sinB=2
cos
≤2
，求得△ABC周长a+b+c的取值范围．
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| 3 |
| 3 |
（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得c的值．再由三角形任意两边之和大于第三边，以及a+b=
2sinA+2sinB=2
| 3 |
| A-B |
| 2 |
| 3 |
解答：解：（1）∵已知△ABC中，
tanA•tanB-(tanA+tanB)=
，
∴
tanA•tanB-tan(A+B)(1-tanAtanB)=
，
即
tanA•tanB+tanC(1-tanAtanB)=
，即
tanA•tanB+tanC-tanAtanBtanC=
．
再由△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 可得，tanA+tanB=
（tanA•tanB-1），
∴tan（A+B）=
=-
=-tanC，∴tanC=
，C=
．
（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得 c=2R•sinC=
．
由于三角形任意两边之和大于第三边，∴a+b＞c=
，
故△ABC周长大于2
．
再由a+b=2sinA+2sinB=2（sinA+sinB）=2×2sin
•cos
=4sin
•cos
=2
cos
≤2
，（当且仅当A=B时，取等号）．
可得三角形的周长 a+b+c≤2
+
=3
，
故△ABC周长的取值范围为（2
，3
]．
| 3 |
| 3 |
∴
| 3 |
| 3 |
即
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
再由△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 可得，tanA+tanB=
| 3 |
∴tan（A+B）=
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得 c=2R•sinC=
| 3 |
由于三角形任意两边之和大于第三边，∴a+b＞c=
| 3 |
故△ABC周长大于2
| 3 |
再由a+b=2sinA+2sinB=2（sinA+sinB）=2×2sin
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
=4sin
| π |
| 3 |
| A-B |
| 2 |
| 3 |
| A-B |
| 2 |
| 3 |
可得三角形的周长 a+b+c≤2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
故△ABC周长的取值范围为（2
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查两角和差的正切公式，诱导公式以及正弦定理的应用，属于中档题．
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