Question

（2012•安徽模拟）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos²B=cos2B+2cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，S=2

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的余弦公式，结合2cos²B=cos2B+2cosB可得cosB=

1

2

，结合0＜B＜π，可得B=

π

3

；
（2）根据正弦定理的面积公式，可得s=

1

2

acsinB=2

3

，结合a=2且B=

π

3

算出c=4，最后在△ABC中，利用余弦定理得：b²=12，从而得出b=2

3

．

解答：解：（1）∵2cos²B=cos2B+2cosB，cos2B=2cos²B-1
∴2cosB-1，可得cosB=

1

2

又∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．…6分
（2）∵a=2，且s=

1

2

acsinB=2

3

，
∴c=

2S

asinB

=

4 3

2×sin π 3

=4，
∴△ABC中，根据余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=4+16-2×2×4×

1

2

=12．
∴b=2

3

（舍负）．….12分

点评：本题结合二倍角的三角函数公式和正、余弦定理，求△ABC的角B大小，并在已知边a长和面积的情况下求边b的长，着重考查了解三角形的常用思路与方法，属于中档题．