Question

9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，ab=$\frac{2}{3}$c²，则∠C等于（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式可得a+b=$\sqrt{3}c$，结合已知ab=$\frac{2}{3}$c²，可求a²+b²=$\frac{5{c}^{2}}{3}$，利用余弦定理可得cos∠C=$\frac{1}{2}$，结合范围∠C∈（0，180°），即可得解∠C=60°．

解答 解：在△ABC中，∵sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，
∴由正弦定理可得：a+b=$\sqrt{3}c$，两边平方可得：a²+b²=3c²-2ab，
又∵ab=$\frac{2}{3}$c²，
∴a²+b²=3c²-2×$\frac{2}{3}$c²=$\frac{5{c}^{2}}{3}$，
∴由余弦定理可得：cos∠C=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{5{c}^{2}}{3}-{c}^{2}}{2×\frac{2{c}^{2}}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠C∈（0，180°），
∴∠C=60°．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．