Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点M、N分别为侧棱PD、PC的中点
（1）求证：CD∥平面AMN；
（2）求证：AM⊥平面PCD．

Answer 1

分析：根据线面平行的判定定理，只需证明平面内一条直线与CD平行可证（1）；
利用CD与AD垂直，可证CD垂直平面PAD，这样平面PCD内可证有两条直线PD与CD于AM垂直，然后线线垂直⇒线面垂直即可．

解答：证明：（1）∵M、N分别为侧棱PD、PC的中点，
∴CD∥MN，
∵MN?平面AMN，CD?平面AMN
∴CD∥平面AMN．
（2）∵PA=AD，M为PD的中点，
∴AM⊥PD
∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA
又∵底面是正方形，∴CD⊥AD，∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD
∴AM⊥CD，又∵CD∩PD=D
∴AM⊥平面PCD．

点评：本题考查线面平行与垂直的判定，证明线面平行一般有：线线平行⇒线面平行；面面平行⇒线面平行，两种思路；
证明线面垂直一般有：线线垂直⇒线面垂直；面面垂直⇒线面垂直；

线线平行 线面垂直

⇒线面垂直；
另可用向量法证明．