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8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，右顶点为A，上顶点为B，以坐标原点O为圆心，椭圆C的短轴长为直径作圆O，截直线AB的弦长为$\frac{6\sqrt{7}}{7}$（a2-b2）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过椭圆C的右焦点F的直线l，与椭圆C相交于G、H两点，使得△AFG与△AFH的面积比为1：2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

分析 （1）直线AB的方程为：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，化为：bx-ay-ab=0，可得$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$（a2-b2）．又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a2=b2+c2．联立解出即可得出．
（2）如图所示，假设存在过椭圆C的右焦点F的直线l，与椭圆C相交于G、H两点，使得△AFG与△AFH的面积比为1：2．可得$\frac{|FG|}{|FH|}$=$\frac{1}{2}$．设直线FG的方程为：x=$\frac{1}{2}$+my．G（x1，y1），H（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（16+12m2）y2+12my-9=0．利用根与系数的关系及其$\frac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．即可得出m．

解答 解：（1）直线AB的方程为：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，化为：bx-ay-ab=0，
则$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$（a2-b2）．又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a2=b2+c2．
联立解得：a=1，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\frac{1}{2}$．
∴椭圆C的标准方程为${x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．
（2）如图所示，假设存在过椭圆C的右焦点F的直线l，
与椭圆C相交于G、H两点，使得△AFG与△AFH的面积比为1：2．
则$\frac{|FG|}{|FH|}$=$\frac{1}{2}$．
设直线FG的方程为：x=$\frac{1}{2}$+my．G（x1，y1），H（x2，y2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+my}\\{{x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（16+12m2）y2+12my-9=0．
∴y1+y2=$\frac{-12m}{16+12{m}^{2}}$，y1y2=$\frac{-9}{16+12{m}^{2}}$．
$\frac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
化为：m2=$\frac{4}{5}$，解得m=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
因此存在过椭圆C的右焦点F的直线l：x=$\frac{1}{2}±\frac{2\sqrt{5}}{5}$y，
与椭圆C相交于G、H两点，使得△AFG与△AFH的面积比为1：2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．

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