Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，P，M为C上任意点，，，，则的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由双曲线的方程可得 a=，c=，由条件可得双曲线的方程为为 =1，过M作右准线
的垂线MH，H为垂足，由双曲线的定义可得|MH|=|MF₂|，故  =|MH|+|MN|≥|NH|．
解答：解：由双曲线的方程可得 a=，c=，F₁ （-c，0），F₂  （c，0）．
设点P的坐标为（m，n），n＞0，则有 ，解得  b²=1，
故双曲线的方程为 =1，故c=，e==．过M作右准线 x=  的垂线MH，H为垂足，
 由双曲线的定义可得 =e=，∴|MH|=|MF₂|．
 故  =|MH|+|MN|≥|NH|=-=，
当且仅当M、N、H 三点共线时取等号．
点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|MH|=|MF₂|，是解题的关键．