题目内容
已知函数f（x）=
sin2x+cos（2x+
）+cos（2x-）-1其中x∈[-
，0]
（Ⅰ）求函数f（x）的周期和值域
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=0，BA
•
=
，且a+c=4，求边b的长．
解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos（2x+）+cos（2x-）-1
=2sin（2x+）-1．…（3分）
周期是π，由x∈[-，0]，2x+∈[-，]，
∴-2≤2sin（2x+）-1≤0，
∴函数f（x）的值域是[-2，0]．…（7分）
（Ⅱ）由f（B）=2sin（2B+）-1=0得
sin（2B+）=
，由0＜B＜π，得B=．…（10分）
由•=，得accosB=，得ac=3． …（12分）
再由余弦定理得，b2=a2+a2-2accosB=（a+c）2-3ac=7．
∴b=
． …（14分）
分析：（Ⅰ）利用辅助角公式可将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+）-1，从而可求得函数f（x）的周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，由f（B）=0，可求得B=，由•=，可求得ac=3，再利用余弦定理即可求得b．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性与闭区间上的值域，考查余弦定理，属于中档题．
sin2x+cos（2x+）+cos（2x-）-1=2sin（2x+
）-1．…（3分）周期是π，由x∈[-
，0]，2x+∈[-，]，∴-2≤2sin（2x+
）-1≤0，∴函数f（x）的值域是[-2，0]．…（7分）
（Ⅱ）由f（B）=2sin（2B+
）-1=0得sin（2B+
）=，由0＜B＜π，得B=．…（10分）由
•=，得accosB=，得ac=3． …（12分）再由余弦定理得，b2=a2+a2-2accosB=（a+c）2-3ac=7．
∴b=
． …（14分）分析：（Ⅰ）利用辅助角公式可将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+
）-1，从而可求得函数f（x）的周期和值域；（Ⅱ）在△ABC中，由f（B）=0，可求得B=
，由•=，可求得ac=3，再利用余弦定理即可求得b．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性与闭区间上的值域，考查余弦定理，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
