Question

设

m

和

n

是两个单位向量，其夹角是60°，求向量

a

=2

m

+

n

与

b

=2

n

-3

m

的夹角θ．

Answer 1

分析：由向量的模及夹角为60°，得向量的数量积，欲求向量

a

，

b

的夹角，根据夹角公式，须求出两个向量的模及数量积，最后利用夹角公式计算即得．

解答：解：由|

m

|=1，|

n

|=1，夹角为60°，得

m

•

n

=

1

2

．
则有|

a

|=|2

m

+

n

|=

(2 m + n )2

=

4 m 2+4 m • n + n 2

=

7

|

b

|=|2

n

-3

m

|=

(2 n -3 m )2

=

4 n 2-12 m n +9 m 2

=

7

所以

a

•

b

=(2

m

+

n

)•(2

n

-3

m

)=

m

•

n

-6

m

2+2

n

2=-

7

2

，
得cosθ=

- 7 2

7

=-

1

2

，
∴

a

，

b

的夹角为120°．

点评：本小题主要考查平面向量数量积的性质及其运算律、数量积表示两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．