Question

如图，M为椭圆

x2

3

+y2=1上任意一点，P为线段OM的中点，求

PF1

•

PF2

的最小值

-

7

4

．

Answer 1

分析：由题意设出P的坐标，求出

PF1

，

PF2

，然后直接计算

PF1

•

PF2

，即可求出最小值．

解答：解：设M（

3

cosα ，sinα），所以P（

3

2

cosα ， 

1

2

sinα），F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)；
所以

PF1

=(-

2

-

3

2

cosα ， -

1

2

sinα)；

PF2

=(

2

-

3

2

cosα ， -

1

2

sinα)；
所以

PF1

•

PF2

=(-

2

-

3

2

cosα ， -

1

2

sinα)• (

2

-

3

2

cosα ， -

1

2

sinα)
=-2+

3

4

cos2α+

1

4

sin2α=

1

2

cos2 α-

7

4

≥-

7

4

．

PF1

•

PF2

的最小值-

7

4

．
故答案为：-

7

4

．

点评：本题是中档题，考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，向量的数量积等知识，考查计算能力．