Question

（2013•黄冈模拟）在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系（如图所示）．若R、R′分别在线段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|OF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N为椭圆Ω上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为

2

3

，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|OF|

=

1

n

求出R和R′的坐标，求出直线GR′和直线ER的方程，联立求出交点，把交点坐标代入椭圆方程进行验证；
（Ⅱ）设出M，N的坐标，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，利用根与系数关系求出M，N两点坐标的和与积，代入斜率公式，求得MN的斜率和截距的关系，由纤细方程证明结论，当斜率不存在时，直接求出M，N的坐标验证．

解答：证明：（Ⅰ）如图，
        
∵

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|CF|

=

1

n

，∴R(

3

n

，0)，R′(

3

，

n-1

n

)，
又G（0，1），则直线GR′的方程为y=-

1

3 n

x+1       ①
又E（0，-1），则直线ER的方程为y=

n

3

x-1          ②
由①②得P(

2 3 n

n2+1

，

n2-1

n2+1

)，代入椭圆方程得：

( 2 3 n n2+1 )2

3

+(

n2-1

n2+1

)2=

4n2+(n2-1)2

(n2+1)2

=1．
∴直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）①当直线MN的斜率不存在时，设MN：x=t（-

3

＜t＜

3

），
则M(t，

1- t2 3

)，N(t，-

1- t2 3

)，∴kGM•kGN=

1

3

，不合题意．
②当直线MN的斜率存在时，设MN：y=kx+b，
 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
  
联立方程

y=kx+b x2 3 +y2=1

，
得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0．
则△=12（3k²-b²+1）＞0，
x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

，
又kGM•kGN=

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=

k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2

x1x2

=

2

3

，
即(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0，
将x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

代入上式得b=-3，
∴直线过定点T（0，-3）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，考查了由两点求直线的斜率公式，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．