Question

函数f（x）=|2x+1|+|ax|，若存在三个互不相等的实数x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则实数a=

±2

．

Answer 1

分析：题干错误：f（X₃），应该为f（x₃），请给修改，谢谢．
由题意可得显然a=0不满足条件，当a＞0时，化简函数f（x）的解析式，画出函数的图象，数形结合可得a的值．
当a＜0时，同理求得a=-2．综合可得结论．

解答：解：∵函数f（x）=|2x+1|+|ax|，显然a=0不满足条件．
当a＞0时，f（x）=

(-2-a)x-1 ， x＜- 1 2 (2-a)x+1 ， - 1 2 ≤x＜0 (2+a)x+1 ， x≥0

，
函数的图象如图所示：其中，A（-

1

2

，

a

2

），B（0，1）．

要使存在三个互不相等的实数x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（X₃），必须有

a

2

=1，∴a=2．
当a＜0时，同理求得a=-2，故有a=±2，
故答案为±2．

点评：本题主要考查分段函数的应用，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题．