Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，且AB∥CD，AB=

1

2

CD．
（1）点F在线段FC上运动，且设

|PF|

|FC|

=λ，问当λ为何值时，BF∥平面PAD，并证明你的结论；
（2）当BF∥面PAD，且∠PDA=

π

4

，AD=2，CD=3求四棱锥F-BCD的体积．

Answer 1

分析：（1）当λ=1时，取PD的中点G，连接BG，FG，证明四边形ABFG为平行四边形，得BF∥AG，由线面平行的判定定理可证BF∥平面PAD；
（2）根据△PAD为等腰直角三角形，可得PA=2，故三棱锥F-BCD的高为

1

2

×PA=1，求出底面△BCD的面积，代入体积公式计算．

解答：解：（1）当λ=1时，取PD的中点G，连接BG，FG，
∴F，G分别为PC，PD的中点，
∴FG∥CD，FG=

1

2

CD，
又AB∥CD，AB=

1

2

CD．
∴FG∥AB，FG=AB，四边形ABFG为平行四边形，∴BF∥AG，
AG?平面PAD，BF?平面PAD，∴BF∥平面PAD；
（2）∵PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，AD=2，∴PA=2，
∵F为PC的中点，∴三棱锥F-BCD的高为

1

2

×PA=1，
∵底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，
∴S_△BCD=

1

2

×CD×AD=

1

2

×3×2=3，
∴V_F-BCD=

1

3

×3=1．

点评：本题考查了线面平行的证明，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．