Question

直线l:y=kx+1与双曲线C:2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B.

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）k的取值范围为-2＜k＜-（2）k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点

解析:

（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，整理得(k²-2)x²+2kx+2=0                                  ①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，

故

解得k的取值范围为-2＜k＜-.

(2)设A、B两点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),

则由①式得                                                  ②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得

（x₁-c）(x₂-c)+y₁y₂=0.

即(x₁-c)(x₂-c)+(kx₁+1)(kx₂+1)=0.

整理得：

(k²+1)x₁x₂+(k-c)(x₁+x₂)+c²+1=0                                            ③

把②式及c=代入③式化简得

5k²+2k-6=0.

解得k=-或k=(-2,-)（舍去）.

可知k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.