题目内容
设F1，F2分别为椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，椭圆上的点A（1，
）到F1，F2两点的距离之和等于4，求：
①写出椭圆C的方程和焦点的坐标；
②过F1且倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF2的周长．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
①写出椭圆C的方程和焦点的坐标；
②过F1且倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF2的周长．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：①由已知得2a=4，
+
=1，由此能求出椭圆C的方程和焦点坐标．
②由椭圆定义知△ABF2的周长=4a，由此能求出结果．
| 12 |
| 22 |
(
| ||||
| b2 |
②由椭圆定义知△ABF2的周长=4a，由此能求出结果．
解答：
解：①椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点A（1，
）在椭圆上，
因此
+
=1，得b2=1，于是c2=3，
所以椭圆C的方程为
+y2=1，焦点F1（-
，0），F2（
，0）．
②∵椭圆C的方程为
+y2=1，∴a=2，
∵过F1且倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，
∴△ABF2的周长=4a=8．
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点A（1，
| ||
| 2 |
因此
| 12 |
| 22 |
(
| ||||
| b2 |
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
②∵椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
∵过F1且倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，
∴△ABF2的周长=4a=8．
点评：本题考查椭圆方程和焦点坐标的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．
练习册系列答案
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