Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数有两个不同极值点，求实数的取值范围；

（3）当时，求证：对任意，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）当时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程.

（2）求导，取导数为0，参数分离得到，设右边为新函数，求出其单调性，求得取值范围得到答案.

（3）将导函数代入不等式，化简得到，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明.

（1）当时，．

∴

∴，又∵

∴，即

∴函 数 在点处的切线方程为．

（2）由题意知，函数的定义域为， ，

令，可得，

当时，方程仅有一解，∴，

∴

令

则由题可知直线与函数的图像有两个不同的交点．

∵

∴当时，，为单调递减函数；

当时，，为单调递增函数．

又∵，，且当时，

∴，

∴

∴实数的取值范围为．

（3）∵

∴要证对任意，恒成立

即证成立

即证成立

设

∴

∵时，易知在上为减函数

∴

∴在上为减函数

∴

∴成立

即对任意，恒成立．