Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明:；

（Ⅲ）求证:对任意正整数，都有 (其中为自然对数的底数).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）先求，再对 进行讨论即可.

（Ⅱ）由题知即证，构造新函数设，利用导数只需即得证.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得证.

（Ⅰ）易得，函数 ，

①当时，，所以在上单调递增

②当时，令，解得 ．

当时，，所以，

所以在上单调递减；

当时，，所以，

所以在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）当 时，.

要证明，

即证，即. 即.

设则

令得，.

当时，，

当时，.

所以为极大值点，也为最大值点

所以.

即.

故.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.

令，

则 ，

所以

,

即

所以.