题目内容
4．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（1+λ）x+（λ+2）y-6-3λ=0过定点A，已知圆C的半径为1，且圆心在直线y=2x-4上．（1）若圆C经过点M（6，3），N（4，5），过点A作圆C的切线，若切点为E，F，求直线EF的方程；
（2）在条件（1）下，过点B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）作直线交圆C于P，Q两点，求|PQ|最小时直线的方程；
（3）若圆C上存在点Q，使|QA|=2|QO|，求Q点的轨迹方程，并求出圆心C的横坐标a的取值范围．
分析 由直线系方程求出A点坐标．
（1）求出MN的中垂线方程，联立两直线方程求得圆心C的坐标，则圆的方程可得，再求出以CA为直径的圆的方程，由圆系方程求得直线EF的方程；
（2）由题意可知，点B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）在圆C内部，要使|PQ|最小，则PQ所在直线垂直BC，求出BC所在直线的斜率，利用点斜式方程求得|PQ|最小时直线的方程；
（3）设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，设出Q，进而根据|QA|=2|QO|求得Q的轨迹方程，判断出点Q应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点，由此确定不等关系求得a的范围．
解答 解：由直线l：（1+λ）x+（λ+2）y-6-3λ=0，得λ（x+y-3）+（x+2y-6）=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x+2y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（0，3），
（1）∵M（6，3），N（4，5），
∴M，N的中点坐标为（5，4），${k}_{MN}=\frac{5-3}{4-6}=-1$，
则MN的中垂线方程为y-4=1×（x-5），即x-y-1=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，求得圆心坐标为C（3，2），圆C的半径为$\sqrt{（6-3）^{2}+（3-2）^{2}}=\sqrt{10}$，
圆C的方程为：（x-3）2+（y-2）2=10，即x2+y2-6x-4y+3=0．①
CA的中点坐标为（$\frac{3}{2}，\frac{5}{2}$），|CA|=$\sqrt{（3-0）^{2}+（2-3）^{2}}=\sqrt{10}$，
∴以CA为直径的圆的方程为$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{5}{2}）^{2}=（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}$．
即x2+y2-3x-5y+6=0．②
①-②得：直线EF的方程为3x-y+3=0；
（2）圆C的方程为：（x-3）2+（y-2）2=10．
点B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）在圆C内部，要使|PQ|最小，则PQ所在直线垂直BC，
∵${k}_{BC}=\frac{2-\frac{3}{2}}{3-\frac{5}{2}}=1$，∴PQ所在直线的斜率为-1，
∴PQ所在直线方程为y-$\frac{3}{2}=-1×（x-\frac{5}{2}）$，即x+y-4=0；
（3）∵圆C的圆心在直线y=2x-4上，∴设圆心C为（a，2a-4），
则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1．
又|QA|=2|QO|，设Q为（x，y），则$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
整理得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，
点Q应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+[2a-4-（-1）]^{2}}$≤|2+1|．
由5a2-12a+8≥0，得a∈R．
由5a2-12a≤0，得0≤a≤$\frac{12}{5}$．
∴圆心C的横坐标的取值范围为[0，$\frac{12}{5}$]．
点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，是中档题．
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{7}$ | C． | 1 | D． | 0 |
| A． | $\frac{3}{10}$ | B． | $\frac{7}{20}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{13}{20}$ |