Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
 

Answer 1

(1)证明：见解析；(2)点A到平面PBC的距离等于．

本题考查线面平行，线面垂直，线线垂直，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面平行，线面垂直的判定方法，利用等体积转化求点面距离
（1）利用线面垂直证明线线垂直，即证BC⊥平面PCD；
（2）利用等体积转化求点A到平面PBC的距离．
(1)证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC．
由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DC 平面PCD，
∴ BC⊥平面PCD．∵ PC 平面PCD，
故PC⊥BC．-------------------4分
(2)解：(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE，DF， 则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD．
∵ PD＝DC，PF＝FC，∴ DF⊥PC．
又∴平面PBC∩平面PCD＝PC，∴ DF⊥平面PBC于F．
易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．--12分
(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．
∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°．
由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S_△ABC＝1．
由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积
V＝S_△ABC·PD＝．∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC．
又∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝＝．
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S_△PBC＝．
∵ V_{A - PBC}＝V_{P - ABC}，∴ S_△PBC·h＝V＝，
得h＝．
故点A到平面PBC的距离等于．----------12分