Question

5．在正三棱锥S-ABC中，AB=$\sqrt{2}$，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S-ABC外接球的球心到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 利用正三棱锥S-ABC和M是SC的中点，AM⊥SB，找到SB，SA，SC之间的关系．在求正三棱锥S-ABC外接球的球心与平面ABC的距离．

解答 解：取AC的中点N，连接BN，因为SA=SC，所以AC⊥SN，由∵△ABC是正三角形，∴AC⊥BN．
故AC⊥平面SBN，AC⊥BC．
又∵AM⊥SB，AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC，SB⊥SA且SB⊥SC
故得到SB，SA，SC是三条两两垂直的．可以看成是一个正方体切下来的一个正三棱锥．
故外接圆直径2R=$\sqrt{3}$
∵AB=$\sqrt{2}$，∴SA=1．
那么：外接球的球心与平面ABC的距离为正方体对角线的$\frac{1}{6}$，即d=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了正三棱锥外接球的球心与和棱长的关系，才能求出球心与平面的距离问题．属于中档题．