Question

5．已知F为抛物线C：y²=2x的焦点，点E在射线l：x=-$\frac{1}{2}$（y≥0）上，线段EF的垂直平分线与l交于点Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），与抛物线C交于点P，则△PEQ的面积为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 先求出F坐标，进而根据垂直平分线的性质，求出E点坐标，进而求出EF中点坐标，再求出PQ所在直线方程，联立抛物线方程后可得P点坐标，最后可得△PEQ的面积．

解答 解：∵F为抛物线C：y²=2x的焦点，
∴F点的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），
又∵线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴QE=QF=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$，
∴E点坐标为：（-$\frac{1}{2}$，2），
则EF的中点为（0，1），
∴PQ所在的直线方程为：y=$\frac{1}{2}$x+1，
代入y²=2x得：x=2，y=2，
即P点坐标为（2，2），
∴△PEQ的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×2$=$\frac{5}{4}$，
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查的知识点是垂直平分线的性质，直线方程，直线与抛物线的综合应用，三角形面积，难度中档．