Question

10．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的右顶点为A，上顶点为B，且$|{AB}|=\sqrt{3}$，椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于C，D两个不同的点，且坐标原点O到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求证：$\overline{OC}•\overline{OD}=0$．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的几何性质可知，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）由点到直线的距离公式可知，d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求得3m²=2（1+k²），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及直线方程求得x₁•x₂和y₁y₂，由向量数量积的坐标表示$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=x₁•x₂+y₁y₂=0

解答 解：（1）由题意可知：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由椭圆的性质可知：a²=b²+c²，
求得：b²=2，b²=1，
椭圆E的标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由点O到直线l的距离d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴3m²=2（1+k²），
直线l：y=kx+m代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2t²-2=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2t²-2）=16k²-8m²+8＞0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²，
=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=0，

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，韦达定理及向量数量积的坐标表示的综合运用，考查计算能力，属于中档题．