Question

【题目】已知椭圆的离心率，一条准线方程为过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．

求椭圆的方程；

若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）为常数2.

【解析】

利用，，及其，解出即可得出；证法一：设P点坐标为，则Q点坐标为可得，直线AP的方程为令，解得同理可得再利用在椭圆上，即可得出mn；解法二：设直线AP的斜率为，则AP的方程为，令，得联立，解得P，则可得Q点的坐标可得，可得直线AQ的方程，可得n，即可得出．

，，

解得，，

．

故椭圆的方程为．

证法一：设P点坐标为，则Q点坐标为

，

直线AP的方程为．

令，解得．

，

直线AQ的方程为．

令，解得．

．

又在椭圆上，

，即，

．

以mn为常数，且常数为2．

解法二：设直线AP的斜率为，则AP的方程为，

令，得．

联立

消去y，得，解得，，

，

则Q点的坐标为

，

故直线AQ的方程为．

令，得，

．

为常数，常数为2．