Question

【题目】[选修4一4:坐标系与参数方程]已知直线l过原点且倾斜角为， ，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为psin =4cos.

(I)写出直线l的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)已知直线l过原点且与直线l相互垂直,若lC=-M,lC=N,其中M,N不与原点重合，求△OMN 面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）=,y=4x.（2）16

【解析】试题分析：（1）根据极角定义得直线l的极坐标方程，根据将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）先确定直线极坐标方程,代入求得，根据面积公式可得S，最后根据三角函数有界性求最小值.

试题解析：解:(I)依题意,直线l的极坐标方程为= (≠, ∈R)

曲线C: Sin =4cos,sin =4cos,直角坐标方程为y=4x.

(Ⅱ)把θ=代入sin =4cos,得=.

可知直线l的极坐标方程为=+ (∈R)

代入sin =4cos,得cos =-4sin,所以=-,

S△=|OM|·|ON|=2||·||=≥16,(当且仅当=时,取“=”)

即△OMN面积的最小值为16.