题目内容
2．若向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，sinωx）$，其中ω＞0，记函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$，若函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$．（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，$c=\sqrt{3}$，f（C）=1，求△ABC的面积．
分析 （Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式．
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，结合范围0＜C＜π，可得-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，解得C=$\frac{π}{3}$，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．
解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，sinωx）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωxcosωx+{sin^2}ωx-\frac{1}{2}=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，…（4分）
由题意可知其周期为π，
故ω=1，
则f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（6分）
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$． …（8分）
又∵a+b=3，$c=\sqrt{3}$，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos$\frac{π}{3}$，
∴（a+b）2-3ab=3，即ab=2，
由面积公式得三角形面积为$\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）
点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
| A． | 3 | B． | 2 | C． | -2 | D． | -3 |
《城市规划管理意见》中提出“新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪．各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从[25，55]岁人群中随机抽取了n人进行问卷调查，得如下数据：| 组数 | 分组 | 认同人数 | 认同人数占 本组人数比 |
| 第一组 | [25，30） | 120 | 0.6 |
| 第二组 | [30，35） | 195 | p |
| 第三组 | [35，40） | 100 | 0.5 |
| 第四组 | [40，45） | a | 0.4 |
| 第五组 | [45，50） | 30 | 0.3 |
| 第六组 | [50，55） | 15 | 0.3 |
（2）若从[40，45），[45，50）两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在[40，45）内的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．