Question

17．已知f（x）=9^x-2a•3^x+4．
（I）令t=3^x，求t在区间[-1，2]上的值域；
（2）若a=1，求函数f（x）的值域；
（3）若a＞0，求f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）设t=3^x，由 x∈[-1，2]，且函数t=3^x 在[-1，2]上是增函数，故有 $\frac{1}{3}$≤t≤9，由此求得t的最大值和最小值．
（2）由f（x）=t²-2t+4=（t-1）²+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且 $\frac{1}{3}$≤t≤9，由此求得f（x）的最大值与最小值．
（3）讨论对称轴，结合二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）设t=3^x，∵x∈[-1，2]，函数t=3^x 在[-1，2]上是增函数，故有 $\frac{1}{3}$≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为$\frac{1}{3}$．
（2）当a=1时，由f（x）=9^x-2×3^x+4=t²-2t+4=（t-1）²+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且 $\frac{1}{3}$≤t≤9，
故当t=1时，函数f（x）有最小值为3，
当t=9时，函数f（x）有最大值为 67．
即函数的值域为[3，67]．
（3）设t=3^x，∵x∈[1，2]，
∴设t∈[3，9]，
则y=g（t）=9^x-2a•3^x+4=t²-2at+4=（t-a）²+4-a²，对称轴为t=a，
若a≤3，则函数的最小值为g（3）=13-6a，
当a≥9，则函数的最小值为g（9）=85-18a，
当3≤a≤9，则函数的最小值为g（a）=4-a²．

点评 本题主要考查指数函数的综合题，求二次函数在闭区间上的最值，利用换元法结合二次函数的性质是解决本题的关键．属于中档题．