Question

13．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ABC+∠ADC=90°，E是线段AD的中点，F在线段PD上运动，记$\frac{PF}{PD}$=λ．
（1）若λ=$\frac{1}{2}$，证明：平面BEF⊥平面ABCD；
（2）若λ=$\frac{1}{3}$，PA=AB=AC=6，求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质，可得EF∥PA，利用PA⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，即可证明平面BEF⊥平面ABCD；
（2）利用三棱锥C-BEF的体积等于三棱锥F-BEC的体积，即可求得三棱锥C-BEF的体积．

解答 （1）证明：λ=$\frac{1}{2}$，则F为线段PD的中点，又E是线段AD的中点，
∴EF∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABCD；
（2）解：当λ=$\frac{1}{3}$时，∵PA=6，∴F到平面ABCD的距离d=4．
∵∠ABC+∠ADC=90°，∴∠ABC=∠ADC=45°，
在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∴S_△BEC=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×6=18．
∴三棱锥C-BEF的体积=三棱锥F-BEC的体积V=$\frac{1}{3}$×18×4=24．

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．