Question

14．在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），设b_n=log₂${\;}^{（{a}_{n+1}-{a}_{n）}}$
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{$\frac{1}{{b}_{{\;}_{n}}{b}_{n+1}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）将式子a_n+1=3a_n-2a_n-1右侧的a_n移到左侧即可得出a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），代入b_n，利用对数的运算性质化简即可得出b_n=1+b_n-1，故而数列{b_n}为等差数列；
（2）由（1）得出{b_n}的通项公式，使用裂项法求和．

解答 解：（1）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1，∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），
∴b_n=log₂[2（a_n-a_n-1）]=1+log₂（a_n-a_n-1）=1+b_n-1，
∴b_n-b_n-1=1．
∵b₁=log₂（a₂-a₁）=log₂2=1，
∴数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知b_n=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
设数列{$\frac{1}{{b}_{{\;}_{n}}{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，
则T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差关系的判定，裂项法求和，属于中档题．