Question

7．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx+a$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）若f（x）有最大值3，求实数a的值；
（3）求函数f（x）单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．
（2）根据正弦函数的最大值，求得a的值．
（3）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）单调递增区间．

解答 解：（1）函数$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx+a$=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a，故该函数的最小正周期为$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵f（x）有最大值3，即2+a=3，求实数a=1．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得[令2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、最大值、以及单调性，属于基础题．