Question

8．设α为锐角，若sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{4}{5}$，则sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值为$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由已知利用诱导公式可求cos（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{4}{5}$，结合角为锐角，即可求得sin（$\frac{π}{6}$+α）的值，利用二倍角的正弦函数公式即可求值．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{3}$-α）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$-α）]=cos（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{4}{5}$，
∵α为锐角，$\frac{π}{6}$+α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（$\frac{π}{6}$+α）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{6}+α）}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{6}$+α）cos（$\frac{π}{6}$+α）=2×$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．
故答案为：$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式的应用，分析角的关系是解题的关键，属于基础题．