Question

18．已知公比q≠1的正项等比数列{a_n}，a₃=1，函数f（x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$（x∈R），则f（lna₁）+f（lna₂）+f（lna₃）+f（lna₄）+f（lna₅）=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$（x∈R），可得f（x）+f（-x）=1．f（0）=$\frac{1}{2}$．公比q≠1的正项等比数列{a_n}，a₃=1，可得${a}_{1}{a}_{5}={a}_{2}{a}_{4}={a}_{3}^{2}=1$，lna₁+lna₅=lna₂+lna₄=2lna₃=0．即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$（x∈R），
∴f（x）+f（-x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$+$\frac{{3}^{-x}}{{3}^{-x}+1}$=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$=1．
f（0）=$\frac{1}{2}$．
∵公比q≠1的正项等比数列{a_n}，a₃=1，
则${a}_{1}{a}_{5}={a}_{2}{a}_{4}={a}_{3}^{2}=1$，
∴lna₁+lna₅=lna₂+lna₄=2lna₃=0．
∴f（lna₁）+f（lna₂）+f（lna₃）+f（lna₄）+f（lna₅）=1+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．