Question

（本小题满分14分）如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点。
（1）求证：AC ⊥ BC₁；
（2）求证：AC ₁ // 平面CDB₁；
（3）求多面体的体积。

Answer 1

解：（1）∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，      （2分）
又在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC底面ABC，∴CC₁⊥AC，（3分）
BC、CC₁平面BCC₁，且BC 与CC₁相交      ∴ AC⊥平面BCC₁；（5分）
而BC₁平面BCC₁                          ∴ AC⊥BC₁                       （6分）
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，  ∴ DE//AC₁，  （8分）
∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，    ∴ AC₁//平面CDB₁   （10分）
（3） （11分）=-  （13分）
="20                                                   " （14分）

略