题目内容
（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效)
在四棱锥
中，侧面
底面
，
，底面是直角梯形，
，
，
，
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）设
为侧棱
上一点，
，
试确定
的值，使得二面角
为
.
在四棱锥
中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证：
平面；（Ⅱ）设
为侧棱上一点，，试确定
的值，使得二面角为.解法一：
（Ⅰ）平面底面，，所以
平面，………1分
所以
, .……2分
如图，以
为原点建立空间直角坐标系
.
则
………3分
，
，
所以
，
，……………4分
又由平面，可得
，所以平面.……………6分
（Ⅱ）平面的法向量为，…………………………………………7分
，，
所以
， ………………………………………………………………8分
设平面
的法向量为
，，
，
由
，
，得
所以，
，………………………………………………….……9分
所以
，………………………………………………………….…10分
所以
，……………………...……11分
注意到，得
. …………………………….………………12分
法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD
面PCD，且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD ①…. .…..……2分
取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1
在Rt△ABD中，
，在Rt△BCE中，BC=
. .……………………...……4分
∵
, ∴BC⊥BD ②………………...……5分
由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD. ……….………………………………………….…...……6分
（Ⅱ）过Q作QF//BC交PB于F，过F作FG⊥BD于G，连结 GQ.
∵BC⊥面PBD，QF//BC
∴QF⊥面PBD，∴FG为QG在面PBD上的射影，
又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG
∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角；由题意，∠FGQ="45°." …………….…...……8分
设PQ=x，易知
∵FQ//BC，∴
∵FG//PD∴
………………..…...……10分
在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°
∴FQ=FG，即
∴
……..….........……11分
∵ ∴
∴
……..…............……12分
（Ⅰ）平面
底面，，所以平面，………1分 所以, .……2分如图，以
为原点建立空间直角坐标系.则
………3分，，所以
，，……………4分又由
平面，可得，所以平面.……………6分（Ⅱ）平面
的法向量为，…………………………………………7分，，所以
， ………………………………………………………………8分设平面
的法向量为，，，由
，，得所以，
，………………………………………………….……9分所以
，………………………………………………………….…10分所以
，……………………...……11分注意到
，得. …………………………….………………12分 法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD
面PCD，且PD⊥CD∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC
面ABCD，∴BC⊥PD ①…. .…..……2分取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1
在Rt△ABD中，
，在Rt△BCE中，BC=. .……………………...……4分∵
, ∴BC⊥BD ②………………...……5分由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD. ……….………………………………………….…...……6分
（Ⅱ）过Q作QF//BC交PB于F，过F作FG⊥BD于G，连结 GQ.
∵BC⊥面PBD，QF//BC
∴QF⊥面PBD，∴FG为QG在面PBD上的射影，
又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG
∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角；由题意，∠FGQ="45°." …………….…...……8分
设PQ=x，易知∵FQ//BC，∴
∵FG//PD∴
………………..…...……10分在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°
∴FQ=FG，即
∴……..….........……11分∵
∴ ∴……..…............……12分略
练习册系列答案
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，AA1＝4，点D是AB的中点。
的体积。
，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
，
，
两两互相垂直，点
，点
到
，点
是
倍，则点
的侧面
内有一动点
到直线
与直线
的距离相等,则动点
