Question

已知f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A．{a|

  6

  5

  ≤a≤6}
• B．{a|

  6

  5

  ＜a≤6}
• C．{a|1＜a＜6}
• D．{a|a＞6}

Answer 1

分析：根据题意当x≥1时，f（x）=log_ax在[1，+∞）上单调递增⇒a＞1，从而f（x）=log_ax≥0；当x＜1时，f（x）=（6-a）x-4a在（-∞，1）上单调递增⇒6-a＞0；而f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函数，故当x＜1时，f（x）=（6-a）x-4a＜0；综合可解得实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函数，
∴①当x≥1时，f（x）=log_ax在[1，+∞）上单调递增，
∴a＞1，f（x）=log_ax≥0；
②由x＜1时，f（x）=（6-a）x-4a在（-∞，1）上单调递增得：6-a＞0，即a＜6③；
又f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函数，x≥1时，f（x）=log_ax≥0；
∴当x＜1时，f（x）=（6-a）x-4a＜0，
∴f（1）=（6-a）•1-4a≤0，即5a≥6，a≥

6

5

④
由③④可得

6

5

≤a＜6．
故选A．

点评：本题考查函数单调性的性质，难点在于对“f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函数”的分段讨论与整体把握，特别是对“当x＜1时，f（x）=（6-a）x-4a＜0”的理解与应用，易错点在于忽略“f（1）=（6-a）•1-4a≤0”中的等号，属于难题．