Question

10．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1有相同渐近线的双曲线的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 设所求双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由题意可得2c=10，即c=5，求出已知双曲线的渐近线方程，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．

解答 解：设所求双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得2c=10，即c=5，
由双曲线$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1的渐近线方程为y=±2x，
可得$\frac{b}{a}$=2，又a²+b²=25，
解得a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．