Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，方程有两个相异实根，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】分析：（1）由题可得.分类讨论可得：

当时，在区间内单调递增，

当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减.

（2）由（1）可知，.构造函数，则.令，由导函数的性质可知是减函数，则，结合函数的单调性可得，故.

详解：（1）由题得，.

当时，由于，可得，

即.

∴在区间内单调递增，

当时，由，得，

由，得，

∴在区间内单调递增，在区间内单调递减.

（2）由（1）可设，方程的两个相异实根，满足，

且，，

即.

由题意，可知，

又由（1）可知，在区间内单调递减，故.

令，

则.

令，

则.

当时，，是减函数，

∴.

∴当时，，

即.

∵在区间内单调递增，

∴，

故.