Question

16．已知函数f（x）=|x+7|+|x-1|，对任意实数x，不等式f（x）≥m恒成立．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-12．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）≥m恒成立，可得m的范围．
（2）原不等式即|x-3|≤2x+4，分类讨论求得它的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+7|+|x-1|≥|x+7-（x-1）|=8，
不等式f（x）≥m恒成立，
可得8≥m，
即 m≤8．
（2）由（1）知m的最大值为8，
∴原不等式就是|x-3|-2x≤4，即|x-3|≤2x+4．
当x＜3时，有3-x≤2x+4，
解得：x≥-$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{3}$≤x＜3；
当x≥3时，有x-3≤2x+4，
解得：x≥-7，
∴x≥3；
所以不等式的解集为{x|x≥-$\frac{1}{3}$}．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．