Question

【题目】已知，函数，直线．

讨论的图象与直线的交点个数；

若函数的图象与直线相交于，两点，证明：．

Answer 1

【答案】（1）当时，无交点；时，有一个交点；时，有两个交点；（2）证明见解析.

【解析】

根据函数与方程的关系，设，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．

构造函数，求函数的导数，结合与l的交点坐标，进行证明即可．

由題意，令，

则，

令，解得．

所以在上单调递增，

令，解得，所以在上单调递减，

则当时，函数取得极小值，同时也是最小值

.

当，即时，的图象与直线l无交点，

当，即时的图象与直线l只有一个交点．

当，即时的图象与直线l有两个交点．

综上所述，当时，的图象与直线l无交点;时,的图象与直线l只有一个交点;时的图象与直线l有两个交点．

证明：令，

，

，

，即在上单调递增，

，

时，恒成立，

又，

，

，

即，

又

，

，，

在上单调递增，

即．

，

，

．

，

即，则，

，

即，

即成立．