Question

【题目】设函数，其中.函数的图像在点处的切线与函数的图像在点处的切线互相垂直.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求f（x）的导函数，代入g（x），对函数g（x）求导，结合函数f（x）的图象在点A处的切线与g（x）的图象在点B处的切线互相垂直列式求t值；（Ⅱ）设函数F（x）＝kg（x）﹣2f（x）＝2kex（x+1）﹣2x2﹣8x﹣4，（x≥﹣2），求其导函数，分类求得函数最小值，可得k的取值范围．

（Ⅰ）由得，.

于是，所以.

函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线互相垂直，所以，即

（Ⅱ），.

设函数=（），

则=.

由题设可知，即.令 得 ， .

（1）若，则，此时，，，

，即在单调递减，在单调递增，所以在取

最小值.

而

当时,，即恒成立.

②若则，此时

在单调递增，而 ，

当时,，即恒成立.

③若则，此时 .

当时， 不能恒成立.

综上所述，的取值范围是