Question

【题目】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意一点，关于原点的对称点为，有，且的最大值.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是关于轴的对称点，设点，连接与椭圆相交于点，直线与轴相交于点，试求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由对称可得，故．又根据的最大值得到，进而得到，，所以可得到椭圆的方程．（2）由题意可设直线的方程为，结合由直线方程与椭圆方程组成的方程组可得直线的方程为，令，得点的横坐标，从而得到点为左焦点，

进而得到．

（1）因为点为椭圆上任意一点，关于原点的对称点为，

所以，

又，

所以，

．

又的最大值为，知当为上顶点时，最大，

所以，

所以，

所以．

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题意可知直线存在斜率，设直线的方程为，

由消去并整理得.

因为直线与椭圆交于两点，

所以，

解得．

设，，则，

且，，①

直线的方程为，

令，得 ，②

由①②得.

所以点为左焦点，

因此，，

所以．