Question

已知曲线f（x）=

3

sinωx+cosωx关于直线x=

π

2

对称，当ω取最小正数时（　　）

• A、f（x）在（0，

  π

  6

  ）单调递增
• B、f（x）在（

  π

  6

  ，

  π

  3

  ）单调递增
• C、f（x）在（-

  π

  6

  ，0）单调递减
• D、f（x）在（-

  π

  3

  ，-

  π

  6

  ）单调递减

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换，可求得f（x）=2sin（ωx+

π

6

），利用正弦函数的单调性可求得

π

2

ω+

π

6

=kπ+

π

6

（k∈Z），从而可求得ω_min=2，利用正弦函数的单调性即可求得答案．

解答： 解：∵f（x）=

3

sinωx+cosωx
=2（

3

2

sinωx+

1

2

cosωx）
=2sin（ωx+

π

6

），
其图象关于直线x=

π

2

对称，
∴

π

2

ω+

π

6

=kπ+

π

6

（k∈Z），
∴ω=2k（k∈Z），又ω＞0，
∴ω_min=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由-

π

2

＜2x+

π

6

＜

π

2

，
∴-

π

3

＜x＜

π

6

，
∴f（x）在（-

π

3

，

π

6

）单调递增，可排除D；
又（0，

π

6

）⊆（-

π

3

，

π

6

），
∴f（x）在（0，

π

6

）单调递增，即A正确，B错误；
又（-

π

6

，0）⊆（-

π

3

，

π

6

），f（x）在区间（-

π

6

，0）上单调递增，故C错误；
故选：A．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查正弦函数的对称性与单调性，考查运算求解能力，属于中档题．