Question

一个盒子中装有5张卡片，上面分别记着数字1，1，2，2，2，每张卡片从外观上看毫无差异，现从盒子中有放回的任意取2张卡片，记下上面数字分别为X和Y，两次所得数字之和记为M，即M=X+Y
（1）求随机变量M的分布列和数学期望
（2）若规定所得数字之和为3即可获得奖品，先甲乙两人各自玩了一次上面的游戏，试求两人之中至少有一人获得奖品的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）由题意：M的取值可以是2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量M的分布数列和数学期望．
（2）利用古典概型概率计算公式能求出从5张卡片中有放回地抽取2次，所得数字之和为3的概率；由对立事件概率计算公式能求出甲乙二人中至少一人能获奖的概率．

解答： 解：（1）由题意：M的取值可以是2，3，4，
P(M=2)=

C 1 2 × C 1 2

5×5

=

4

25

，
P(M=3)=

C 1 2 × C 1 3 × A 2 2

5×5

=

12

25

，
P(M=3)=

C 1 3 × C 1 3

5×5

=

9

25

，
∴M的分布列为：

M	2	3	4
P	4 25	12 25	9 25

∴M的期望为：E(M)=2×

4

25

+3×

12

25

+4×

9

25

=

16

5

（2）设“从5张卡片中有放回地抽取2次，所得数字之和为3”为事件A，
则P(A)=

12

25

，
则“甲乙二人中至少一人能获奖”相当于2次独立重复试验中事件A至少发生一次，
其概率为1-

C

0 2

(1-

12

25

)2=

456

625

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．