Question

已知函数 ．
（Ⅰ）若函数在区间其中上存在极值，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、不等式等基础知识，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，因为函数在上有极值，所以极值点的横坐标需落在内，对求导，令和判断出函数的单调区间，决定出极值点所在位置，得到极值点的横坐标，让落在区间内，列出不等式；第二问，将已知条件先转化为，下面主要任务是求函数的最小值，设出新函数，对它求导，判断出函数的单调性，确定当时有最小值，即，所以.
试题解析：（Ⅰ）因为，，则，
当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值.
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以 解得．
（Ⅱ）不等式即为 记
所以
令，则
，
在上单调递增，
，从而，
故在上也单调递增，
所以，所以