Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

Answer 1

解：(1)证明：在△ABC中，

由于sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C，

所以sin B＝·，

因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝

sin Asin C，

所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.

又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sin B，

因此sin²B＝sin Asin C.

由正弦定理得b²＝ac，

即a，b，c成等比数列．

(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝，

由余弦定理得cos B＝＝，

因为0<B<π，所以sin B＝＝，故△ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝.