Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1,S_n=n²a_n(n∈N^*).

(1)试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a_n的表达式.

Answer 1

解：(1)∵a_n=S_n-S_n-1(n≥2)，

∴S_n=n²(S_n-S_n-1),∴S_n=(n≥2).

∵a₁=1,∴S₁=a₁=1.

∴S₂=,S₃==,S₄=,

猜想S_n=(n∈N^*).

(2)证明①当n=1时，S₁=1成立.

②假设n=k(k≥1,k∈N^*)时，等式成立，即S_k=,

当n=k+1时，

S_k+1=(k+1)²·a_k+1=a_k+1+S_k=a_k+1+,

∴a_k+1=,

∴S_k+1=(k+1)²·a_k+1=,

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N^*，等式均成立.

∴a_n=S_n-S_n-1= (n≥2),

当n=1时，a₁=1符合上式，故a_n=(n∈N^*).