题目内容
19．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx+cos2ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的两条相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．（1）求ω的值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）-k在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上存在零点，求实数k的取值范围．
分析 （1）利用倍角公式降幂，再由两角和的正弦化积，结合f（x）的两条相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$求得f（x）的最小正周期，则ω可求；
（2）利用三角函数的图象变换求得g（x）=cosx，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，得g（x）∈[$-\frac{1}{2}$，1]．结合函数y=g（x）-k在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上存在零点，可得实数k的取值范围是[$-\frac{1}{2}$，1]．
解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx+cos2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx=sin（2ωx+\frac{π}{6}）$．
∵f（x）的两条相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
∴f（x）的最小正周期为2×$\frac{π}{2}=π$．
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，ω=1；
（2）f（x）=sin（2x$+\frac{π}{6}$），
将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
再将函数y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=cosx的图象，
∴g（x）=cosx．
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴g（x）=cosx∈[$-\frac{1}{2}$，1]．
∵函数y=g（x）-k在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上存在零点，
∴k∈[$-\frac{1}{2}$，1]．
∴实数k的取值范围是[$-\frac{1}{2}$，1]．
点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．
小学课堂作业系列答案
金博士一点全通系列答案| A． | 平行 | B． | 相交 | C． | 异面 | D． | 不确定 |
| 社团 | 数学 | 剪纸 | 美术 |
| 人数 | 320 | 240 | 200 |
（2）设从“剪纸”社团抽取的同学中有2名女生，现要从“剪纸”社团中随机选出2人担任社团活动监督的职务，求至少有1名女生被选中的概率．
| A． | $-\frac{11}{14}$ | B． | $\frac{12}{7}$ | C． | $-\frac{14}{45}$ | D． | $-\frac{11}{24}$ |
| A． | 若xn＞0，$\underset{lim}{n→∞}$xn=M，则M＞0 | |
| B． | 若$\underset{lim}{n→∞}$（xn-yn）=0，则$\underset{lim}{n→∞}$xn=$\underset{lim}{n→∞}$yn | |
| C． | 若$\underset{lim}{n→∞}$${x}_{n}^{2}$=N2，则$\underset{lim}{n→∞}$xn=N | |
| D． | 若$\underset{lim}{n→∞}$xn=p，则$\underset{lim}{n→∞}$${x}_{n}^{2}$=p2 |